Question

已知△ABC的三個頂點均在球O的球面上，且AB=AC=1，∠BAC=120°，直線OA與平面ABC所成的角的正弦值為，則球面上B、C兩點間的球面距離為    ．

Answer 1

【答案】分析：欲求球面上B、C兩點間的球面距離，作出O到平面ABC的高，判斷垂足O′是外心，然后解三角形ABC的外接圓半徑和球心角，最后求得P到球面上B、C兩點間的球面距離．
解答：解：在三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，
∴由余弦定理得BC=，
由正弦定理得，三角形ABC外接圓的半徑O′B=，如圖，
又直線OA與平面ABC所成的角的正弦值為，
∴，解得OA=，
在三角形BCO′中，
∠BO′C=，球的半徑R=，
則球面上B、C兩點間的球面距離為：=
故答案為：．
點評：本題考查棱錐的結構特征，考查正弦定理、余弦定理，球面距離及相關計算，解答關鍵是明確球面距離的概念，是中檔題．