Question

已知△ABC的三個頂點均在球O的球面上，且AB=AC=1，∠BAC=120°，直線OA與平面ABC所成的角的正弦值為

6

3

，則球面上B、C兩點間的球面距離為

 

．

Answer 1

分析：欲求球面上B、C兩點間的球面距離，作出O到平面ABC的高，判斷垂足O′是外心，然后解三角形ABC的外接圓半徑和球心角，最后求得P到球面上B、C兩點間的球面距離．

解答：解：在三角形ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°，
∴由余弦定理得BC=

3

，
由正弦定理得，三角形ABC外接圓的半徑O′B=

3

，如圖，
又直線OA與平面ABC所成的角的正弦值為

6

3

，
∴

AO′

OA

=cos∠OAO′，解得OA=

3

，
在三角形BCO′中，
∠BO′C=

π

3

，球的半徑R=

3

，
則球面上B、C兩點間的球面距離為：

π

3

×

3

=

3

3

π
故答案為：

3

3

π．

點評：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查正弦定理、余弦定理，球面距離及相關(guān)計算，解答關(guān)鍵是明確球面距離的概念，是中檔題．