Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）設，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若曲線與在公共點處有相同的切線，求點的橫坐標；

（Ⅲ）設，且曲線與總存在公切線，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調增區間為，單調遞減區間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）時，求函數的導函數，解不等式，得到函數的單調區間；

（Ⅱ）設公共點的坐標，可得，即，

分別求出過的兩條切線方程，由題意可知，這兩條切線重合，可得有且，即，把代入，得，設，求導，根據單調性可知：函數在上有唯一的零點，所以，即點的橫坐標為；

（Ⅲ）分別求出兩個曲線的切線方程，根據斜率相等和在縱軸的截距相等，得到方程組，通過消元法，得到一個方程，只要方程有正實數解即可，參變量分離，構造新函數，利用導數，求出新函數的最小值，最后求出的最小值.

（Ⅰ）時，，

當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以函數的單調增區間為，單調遞減區間為；

（Ⅱ）設公共點為，，所以，即，

曲線在公共點處的切線的斜率為：，切線方程為：，

曲線在公共點處的切線的斜率為：，切線方程為：

，曲線與在公共點處有相同的切線，所以有且，即，把代入，得，設，，函數在上單調遞增，而，所以函數在上有唯一的零點，所以，即點的橫坐標為；

（Ⅲ）設曲線的切點為，，則切線的斜率為，所以曲線的切線方程為：，設曲線的切點為，，則曲線的切線的斜率為所以曲線的切線方程為；，

由題意可知：有正實數解，

由于，所以，所以，，設，，

當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以當時，函數有最小值，最小值為，要使方程有正實數解，只需，所以的最小值為.