Question

已知冪函數f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈Z）在（0，+∞）上是增函數，且在其定義域內是偶函數．
（1）求p的值，并寫出相應的函數f（x）．
（2）對于（1）中的f（x），是否存在正實數m，使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在區間[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為冪函數f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

在（0，+∞）上是增函數，所以-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，解得-1＜p＜3由冪函數在其定義域內是偶函數且p∈Z，所以p=1，由此能求出函數f（x）．
（2）由f（x）=x²，知g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1=-x²+（2m-1）x+1，故g（-1）=-1-2m+1+1=1-2m，g（1）=-1+2m-1=2m-1，由g（x）在區間[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，知1-2m=-1，或2m-1=-1．由此能求出正實數m．

解答：解：（1）因為冪函數f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

在（0，+∞）上是增函數，
所以-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，解得-1＜p＜3．（2分）
∵P是整數，∴P的值為0，1，2，
又冪函數在其定義域內是偶函數，所以p=1．（4分）
∴函數f（x）=x²．（6分）
（2）存在正實數m，使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在區間[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]．
∵f（x）=x²，
∴g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1=-x²+（2m-1）x+1，
∴g（-1）=-1-2m+1+1=1-2m，
g（1）=-1+2m-1=2m-1，
∵g（x）在區間[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，
∴1-2m=-1，或2m-1=-1．
當1-2m=-1時，m=1，g（x）=-x²+x+1=-（x-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

，
∴m=1時，g（x）在區間[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，成立；
當2m-1=-1時，m=0，g（x）=-x²-x+1=-（x+

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

，
∴m=0時，g（x）在區間[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，成立；
綜上所述，存在是存在正實數m=1，
使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在區間[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]．（12分）

點評：本題考查冪函數的概念和性質，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意二次函數的性質的靈活運用．