Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A₁、A₂是雙曲線的左右頂點，M（x₀，y₀）是雙曲線上除兩頂點外的一點，直線MA₁與直線MA₂的斜率之積是

144

25

，
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若該雙曲線的焦點到漸近線的距離是12，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)M（x₀，y₀）（x₀≠±a）是雙曲線上一點，代入雙曲線的方程，A₁、A₂是雙曲線的左右頂點，直線MA₁與直線MA₂的斜率之積是

144

25

，求出直線MA₁與直線MA₂的斜率，然后整體代換，消去x₀，y₀，再由c²=a²+b²，即可求得雙曲線的離心率；
（2）由該雙曲線的焦點到漸近線的距離是12，以及雙曲線的離心率，即可得到，

解答：解；（1）因為M（x₀，y₀）（x₀≠±a）是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一點，
則

x02

a2

-

y02

b2

=1，得到

y02

b2

=

x02-a2

a2

，故

y02

x02-a2

=

b2

a2

，
又A₁（-a，0），A₂（a，0），
則kMA1-kMA2=

y0

x0+a

-

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=

b2

a2

=

144

25

，
及

c2-a2

a2

=e2-1=

144

25

，解之得e=

13

5

； 
（2）取右焦點F（c，0），一條漸近線y=

b

a

x，即bx-ay=0，
由于該雙曲線的焦點到漸近線的距離是12，則有

|bc-0|

a2+b2

=

bc

c

=b=12，
由（1）知

b2

a2

=

144

25

，∴a=5，
故雙曲線的方程是

x2

25

-

y2

144

=1．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．