Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=AD=AP=

1

2

CD，E為PC中點．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求證：BE∥平面PAD；
（3）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可得平面PDC⊥平面PAD；
（2）取PD中點F，連接EF，AF，證明四邊形EFAB是平行四邊形，即可證明BE∥平面PAD；
（3）連AC，取AC的中點G，連接EG，則EG⊥平面ABCD，過G作GH⊥BD，H為垂足，連接EH，則∠EHG為二面角E-BD-C的平面角，從而可得結論．

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD
∵CD⊥AD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；（4分）
（2）證明：取PD中點F，連接EF，AF，則
∵E為PC中點，
∴EF∥CD，EF=

1

2

CD
∵AB⊥AD，CD⊥AD，AB=

1

2

CD，
∴EF∥AB，EF=AB
∴四邊形EFAB是平行四邊形
∴BE∥AF
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；（8分）
（3）解：連AC，取AC的中點G，連接EG，則EG⊥平面ABCD，
過G作GH⊥BD，H為垂足，連接EH，則∠EHG為二面角E-BD-C的平面角．（10分）
設AB=AD=AP=

1

2

CD=1，則可求得EG=

1

2

，GH=

2

4

，
∴EH=

1 4 +( 2 4 )2

=

6

4

∴cos∠EHG=

GH

EH

=

3

3

（12分）．

點評：本題考查線面垂直、面面垂直，考查線面平行，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．