Question

【題目】已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過點的動直線交拋物線于兩點，拋物線上是否存在一個定點，使得以弦為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點符合題意.

【解析】

（1）利用拋物線上的點到焦點的距離與到到準線的距離相等即可求出的值，即可求出拋物線方程.

（2）假設存在滿足條件的點，依題設過點直線的直線的方程為，設，聯立方程由根與系數的關系可得；依題可得,若能得出關于的成立的恒等式，則滿足條件的點存在，否則就不存在.

（1）拋物線的準線方程為，

所以點到準線的距離為，又,

由拋物線的定義可得，所以，

所以拋物線的方程為：.

（2）假設存在點使以弦為直徑的圓恒過點，

設過點直線的直線的方程為，

聯立方程得，

設，則，；

因為點總是在以弦為直徑的圓上，

所以，所以

由，

所以

即

當或，等式顯然成立；

當或時，則有

即，則，

即

所以當時，無論取何值等式都成立，

將代入得，

所以存在點使以弦為直徑的圓恒過點.