Question

已知x，y滿足0≤x≤

4-y2

，則

y-2

x-3

的取值范圍是

[0，

12

5

]

．

Answer 1

分析：借助已知動點在半圓上任意動，而所求式子形式可以聯想成在半圓上動點M與定點N（3，2）連線的斜率，求得過點N的切線的斜率，數形結合進而求解．

解答：解：由 x，y滿足0≤x≤

4-y2

，
可得 x²+y²≤4，x≥0．
故滿足條件的點（x，y）在半圓：x²+y²≤4 （x≥0）是如圖所示的半圓面：
而

y-2

x-3

表示半圓上的點M（x，y）與點 N（3，2）
連線的斜率k，
顯然k存在．
設半圓的切線方程為 y-2=k（x-3），即 kx-y+2-3k=0，
則由圓心O（0，0）到切線的距離等于半徑可得

|2-3k|

k2+1

=r=2，
求得k=0，或 k=

12

5

，
數形結合可得k的范圍為[0，

12

5

]，
故答案為[0，

12

5

]．

點評：此題重點考查了斜率公式，及直線與圓的相切與相交的關系，還考查了利用幾何思想解決代數式子的等價轉化、數形結合的思想，屬于中檔題．