Question

已知拋物線M：y²=4x，圓F：（x-1）²+y²=1，過點F作直線l，自上而下依次與上述兩曲線交于點A，B，C，D（如圖所示），T（-1，0）．
（Ⅰ）求|AB|•|CD|；
（Ⅱ）作D關于x軸的對稱點M，求證：T，A，M三點共線；
（Ⅲ）作C關于x軸的對稱點S，求S到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點：拋物線的應用

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由題意設直線l：x=ty+1，設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），從而表示出|AB|•|CD|，化簡即可；
（Ⅱ）由題意點M（x₂，-y₂），表示出向量

TA

，

TM

，從而證明T，A，M三點共線；
（Ⅲ）由題意求出點C，從而表示出點S，寫出S到直線l的距離，利用基本不等式求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設直線l：x=ty+1，
代入拋物線方程得，y²-4ty-4=0，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1；
故|AB|=x₁，|CD|=x₂；
∴|AB|•|CD|=x₁x₂=

(y1y2)2

16

；
而y₁y₂=-4，代入上式可得，
|AB|•|CD|=

(y1y2)2

16

=1；
（Ⅱ）證明：由題意，點M（x₂，-y₂），

TA

=（1+x₁，y₁），

TM

=（1+x₂，-y₂），
又∵y₁y₂=-4，y₁+y₂=4t，
∴（1+x₁）（-y₂）-（1+x₂）y₁
=（2+ty₁）（-y₂）-（ty₂+2）y₁
=2ty₁y₂-2（y₁+y₂）=0．
故T，A，M三點共線；
（Ⅲ）將直線l：x=ty+1，代入圓的方程，
（1+t²）y²=1，
y_C=

-1

1+t2

，x_C=1-

t

1+t2

；
點S（1-

t

1+t2

，-

-1

1+t2

）到直線l的距離d=

|2t|

1+t2

，
當t≠0時，
d=

2

1 |t| +|t|

≤

2

2

=1，（當且僅當|t|=1時，等號成立）
故S到直線l的距離的最大值為1．

點評：本題考查了圓錐曲線的性質應用，同時考查了函數的最值，屬于難題．