Question

(2007上海春，20)通常用a、b、c分別表示△ABC的三個內角A、B、C所對邊的邊長，R表示△ABC的外接圓半徑．

(1)如圖所示，在以O為圓心、半徑為2的⊙O中，BC和BA是圓的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的長；

(2)在△ABC中，若∠C是鈍角，求證：；

(3)給定三個正實數a、b、R，其中b≤a．問：a、b、R滿足怎樣的關系時，以a、b為邊長，R為外接圓半徑的△ABC不存在、存在一個或存在兩個(全等的三角形算作同一個)?在△ABC存在的情況下，用a、b、R表示c．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)△ABC的外接圓半徑為2，在△ABC中，，，A=30°，　　　　(3分) ， ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分) (2)證明：， ， 由于∠C是鈍角，∠A、∠B都是銳角，得 ， ∵， ∴，即．　　　　(10分) (3)①當a＞2R或a=b=2R時，所求的△ABC不存在． ②當a=2R且b＜a時，∠A=90°，所求的△ABC只存在一個， 且． ③當a＜2R且b=a時，∠A=∠B，且A、B都是銳角， 由，A、B唯一確定． 因此，所求的△ABC只存在一個，且．　(14分) ④當b＜a＜2R時，∠B總是銳角，∠A可以是鈍角也可以是銳角，因此，所求的△ABC存在兩個． 由，得 當∠A＜90°時，， ． 當∠A＞90°時，， ．　(18分)

提示：

剖析：本題考查解三角形不等式的知識，考查分類討論的數學思想以及分析問題和解決問題的能力．