Question

已知⊙C：（x-3）²+（y-4）²=4，直線l₁過定點A（1，0）．
（1）若l₁與⊙C相切，求l₁的方程，
（2）若l₁的傾斜角為

π

4

，l₁與⊙C相交于P，Q兩點，求線段PQ的中點M的坐標，
（3）若l₁與⊙C相交于P，Q兩點，求△CPQ的面積最大值，并求此時l₁的直線方程．

Answer 1

分析：（1）①若直線l₁的斜率不存在，則直線x=1，符合題意．②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y=k（x-1），由切線的性質可得：圓心（3，4）到已知直線l₁的距離d=r，利用點到直線的距離公式即可得出．
（2）由傾斜角可得斜率，于是得到直線l₁的方程為y=x-1，與圓的方程聯立即可解出點P，Q的坐標，利用中點坐標公式即可得出M點的坐標；
（3）直線與圓相交，斜率必定存在且不為0，設直線方程為kx-y-k=0，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線l₁的距離d，利用弦長公式可得|PQ|=2

r2-d2

，于是得到S_△OPQ=

1

2

d•2

4-d2

=d

4-d2

≤

d2+(4-d2)

2

利用基本不等式即可得出d，進而解出k．

解答：解：（1）①若直線l₁的斜率不存在，則直線x=1，符合題意．
②若直線l₁斜率存在，設直線l₁為y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由切線的性質可得：圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，
解之得  k=

3

4

．
所求直線方程是x=1，或3x-4y-3=0．
（2）∵l₁的傾斜角為

π

4

，∴斜率k=1，可得直線l₁的方程為y=x-1，聯立

y=x-1 (x-3)2+(y-4)2=4

，解得

x=3 y=2

或

x=5 y=4

．
不妨設P（3，2），Q（5，4）．則線段PQ的中點M的坐標為(

3+5

2

，

2+4

2

)，即（4，3）．
（3）直線與圓相交，斜率必定存在且不為0，設直線方程為kx-y-k=0，則圓心到直線l₁的距離d=

|2k-4|

1+k2

，|PQ|=2

r2-d2

，
∴S_△OPQ=

1

2

d•2

4-d2

=d

4-d2

≤

d2+(4-d2)

2

=2，當且僅當d²=2，即d=

2

時取等號．
∴

|2k-4|

1+k2

=

2

，化為k²-8k+7=0，解得k=1或7．
所求直線l₁的方程為y=x-1或y=7x-7．

點評：本題綜合考查了直線與圓相切與相交的有關問題、點到直線的距離公式、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．