Question

在甲、乙兩個批次的某產品中，分別抽出3件進行質量檢驗．已知甲、乙批次每件產品檢驗不合格的概率分別為

1

4

、 

1

3

，假設每件產品檢驗是否合格相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求至少有2件甲批次產品檢驗不合格的概率；
（Ⅱ）求甲批次產品檢驗不合格件數恰好比乙批次產品檢驗不合格件數多1件的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）少有2件甲批次產品檢驗不合格，包括以下兩個互斥事件：①有2件甲批次產品檢驗不合格．②3件甲批次產品檢驗都不合格，這兩種情況是互斥的，由相互獨立事件概率乘法公式，得到結果．
（II）甲批次產品檢驗不合格件數恰好比乙批次產品檢驗不合格件數多1件，包括3件甲批次產品檢驗都不合格，且有2件乙批次產品檢驗不合格；有2件甲批次產品檢驗不合格，且有1件乙批次產品檢驗不合格；有1件甲批次產品檢驗不合格，且有0件乙批次產品檢驗不合格，這三種情況是互斥的，根據互斥事件的概率公式和獨立重復試驗的公式得到結果．

解答：解：（Ⅰ）記“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”為事件A．
由題意，事件A包括以下兩個互斥事件：
①事件B：有2件甲批次產品檢驗不合格．由n次獨立重復試驗中某事件發生k次的概率
公式，得P(B)=

C

2 3

•(

1

4

)2•(1-

1

4

)1=

9

64

；
②事件C：3件甲批次產品檢驗都不合格．由相互獨立事件概率乘法公式，得P(C)=(

1

4

)3=

1

64

；
∴至少有2件甲批次產品檢驗不合格”的概率為P(A)=P(B)+P(C)=

5

32

，
（Ⅱ）記“甲批次產品檢驗不合格件數恰好比乙批次產品檢驗不合格件數多1件”為事件D．
由題意，事件D包括以下三個互斥事件：
①事件E：3件甲批次產品檢驗都不合格，且有2件乙批次產品檢驗不合格．
其概率P(E)=(

1

4

)3•

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)=

1

288

；
②事件F：有2件甲批次產品檢驗不合格，且有1件乙批次產品檢驗不合格．
其概率P(F)=

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)•

C

1 3

(

1

3

)1(1-

1

3

)2=

1

16

；
③事件G：有1件甲批次產品檢驗不合格，且有0件乙批次產品檢驗不合格．
其概率P(G)=

C

1 3

(

1

4

)1(1-

1

4

)2•(1-

1

3

)3=

1

8

；
∴事件D的概率為P(D)=P(E)+P(F)+P(G)=

55

288

．

點評：本題考查獨立重復試驗，考查互斥事件的概率，考查利用概率知識解決實際問題，是一個基礎題，這種題目考查的情況比較多，需要仔細分析．