Question

在甲、乙兩個批次的某產品中，分別抽出3件進行質量檢驗．已知甲、乙批次每件產品檢驗不合格的概率分別為

1

4

、 

1

3

，假設每件產品檢驗是否合格相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求至少有2件甲批次產品檢驗不合格的概率；
（Ⅱ）求甲批次產品檢驗不合格件數恰好比乙批次產品檢驗不合格件數多2件的概率．

Answer 1

分析：（1）要求至少有2件甲批次產品檢驗不合格的概率，我們先分析事件包含的不同情況，即有2件甲批次產品檢驗不合格的概率，及3件甲批次產品檢驗都不合格的概率，然后利用互斥事件概率加法公式即可得到答案．
（2）甲批次產品檢驗不合格件數恰好比乙批次產品檢驗不合格件數多2件，也包含兩種情況：件甲批次產品檢驗都不合格，且有1件乙批次產品檢驗不合格．或有2件甲批次產品檢驗不合格，且有0件乙批次產品檢驗不合格，我們分別求出兩種情況發生的概率，然后利用互斥事件概率加法公式即可得到答案．

解答：（Ⅰ）解：記“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”為事件A．
由題意，事件A包括以下兩個互斥事件：
①事件B：有2件甲批次產品檢驗不合格．
由n次獨立重復試驗中某事件發生k次的概率
公式，得P(B)=

C

2 3

•(

1

4

)2•(1-

1

4

)1=

9

64

；
②事件C：3件甲批次產品檢驗都不合格．
由相互獨立事件概率乘法公式，得P(C)=(

1

4

)3=

1

64

；
所以，“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”的概率為P(A)=P(B)+P(C)=

5

32

．

（Ⅱ）解：記“甲批次產品檢驗不合格件數比乙批次產品檢驗不合格件數多2件”為事件D．
由題意，事件D包括以下兩個互斥事件：
①事件E：3件甲批次產品檢驗都不合格，且有1件乙批次產品檢驗不合格．
其概率P(E)=(

1

4

)3•

C

1 3

(

1

3

)1(1-

1

3

)2=

1

144

；
②事件F：有2件甲批次產品檢驗不合格，且有0件乙批次產品檢驗不合格．
其概率P(F)=

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)•(1-

1

3

)3=

1

24

；
所以，事件D的概率為P(D)=P(E)+P(F)=

7

144

．

點評：本題考查的知識點是n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率及互斥事件概率加法公式，其中對滿足條件的事件進行討論，分析出其包含的幾種情況，再分別求出各種情況的概率是解答本題的關鍵．