Question

7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F在棱CC₁上，且CF=2FC₁，P是側面四邊形BCC₁B₁內一點（含邊界），若A₁P∥平面AEF，則直線A₁P與面BCC₁B₁所成角的正弦值的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{5\sqrt{29}}}{29}]$
• B． $[\frac{{3\sqrt{13}}}{13}，\frac{{5\sqrt{29}}}{29}]$
• C． $[\frac{{3\sqrt{13}}}{13}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$
• D． $[\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$

Answer 1

分析 分別取棱BB₁、B₁C₁的中點M、N，連接MN，易證平面A₁MN∥平面AEF，由題意知點P必在線段MN上，由此可判斷P在M或N處時A₁P最長，位于線段MN中點處時最短，通過解直角三角形即可求得．

解答 解：如下圖所示：
分別取棱BB₁、B₁C₁的中點M、N，連接MN，連接BC₁，
∵M、N、E、F為所在棱的中點，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四邊形AENA₁為平行四邊形，
∴A₁N∥AE，又A₁N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵P是側面BCC₁B₁內一點，且A₁P∥平面AEF，
則P必在線段MN上，
在Rt△A₁B₁M中，A₁M=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{M}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
同理，在Rt△A₁B₁N中，求得A₁N=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△A₁MN為等腰三角形，
當P在MN中點O時A₁P⊥MN，此時A₁P最短，P位于M、N處時A₁P最長，
A₁O=$\sqrt{{A}_{1}{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
A₁M=A₁N=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以線段A₁P長度的取值范圍是[$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．
直線A₁P與面BCC₁B₁所成角的正弦值的最小值為：$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
直線A₁P與面BCC₁B₁所成角的正弦值最大值為：$\frac{1}{\frac{3\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
直線A₁P與面BCC₁B₁所成角的正弦值的取值范圍是：[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．
故選：D．

點評 本題考查點、線、面間的距離問題，考查學生的運算能力及推理轉化能力，屬中檔題，解決本題的關鍵是通過構造平行平面尋找P點位置．