Question

數列{a_n}中，已知a₁∈（1，2），a_n+1=a_n³-3a_n²+3a_n，n∈N^*，求證：（a₁-a₂）（a₃-1）+（a₂-a₃）（a₄-1）+…+（a_n-a_n+1）（a_n+2-1）＜

1

4

．

Answer 1

考點：反證法與放縮法,不等式的證明

專題：證明題,推理和證明

分析：由a_n+1=a_n³-3a_n²+3a_n，得a_n+1-1=（a_n-1）³，令b_n=a_n-1，可得（a_k-a_k+1）（ a_k+2-1）=（b_k-b_k+1）×b_k+2
＜

1

4

（b_k⁴-b_k+1⁴），再利用放縮法，即可得出結論．

解答： 證明：由a_n+1=a_n³-3a_n²+3a_n，得a_n+1-1=（a_n-1）³．
令b_n=a_n-1，則0＜b₁＜1，b_n+1=b_n³＜b_n，0＜b_n＜1．       …5分
所以（a_k-a_k+1）（ a_k+2-1）=（b_k-b_k+1）×b_k+2
=（b_k-b_k+1）×b_k+1³＜

1

4

（b_k-b_k+1）×（b_k³+b_k²b_k+1+b_kb_k+1²+b_k+1³）＜

1

4

（b_k⁴-b_k+1⁴）．   …15分
所以 （a₁-a₂）（a₃-1）+（a₂-a₃）（a₄-1）+…+（a_n-a_n+1）（a_n+2-1）
＜

1

4

（b₁⁴-b₂⁴）+

1

4

（b₂⁴-b₃⁴）+…+

1

4

（b_n⁴-b_n+1⁴）
=

1

4

（b₁⁴-b_n+1⁴）＜

1

4

b₁⁴＜

1

4

．                      …20分

點評：本題考查不等式的證明，考查數列與不等式的聯系，考查放縮法的運用，屬于中檔題．