Question

在△AABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin²

B+C

2

=1．
（1）求角A的大小和BC邊的長；
（2）若點P在△ABC內運動（包括邊界），且點P到三邊的距離之和為d，設點P到BC，CA的距離分別為x，y，試用x，y表示d，并求d的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單線性規劃,二倍角的余弦

專題：三角函數的求值,不等式的解法及應用

分析：（1）利用同角三角函數的基本關系式化簡，求出A，然后利用余弦定理求得BC的長；
（2）利用三角形的面積相等用x，y表示d，由題意可得當P在C處時d有最小值并求得最小值，當P在AB上時d有最大值，把d用x表示，由x的范圍求得最大值．

解答： 解：（1）∵cos2A+2sin²

B+C

2

=1，
∴1-2sin²A+2sin²

B+C

2

=1，
∴sinA=sin

B+C

2

，即A=

B+C

2

，
∴3A=π，A=

π

3

．
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cosA=2²+1²-2×2×1×cos

π

3

=3，
∴BC=

3

；

（2）由（1）知，△ABC為以C為直角的直角三角形，
如圖，

設P到AB的距離為m，
由等積法可得：

3

2

=

1

2

(y+

3

x+2m)，得
m=

3 - 3 x-y

2

．
∴d=x+y+

3 - 3 x-y

2

=

(2- 3 )x+y+ 3

2

，
由題意得：d在P與C點重合時最小，為

3

2

；
d在AB上時取最大值，此時有AB=2=

x

sinB

+

y

sinA

，
將sinA=sin

π

3

=

3

2

、sinB=

1

2

代入得：y=

3

-

3

x，
∴d=x+y+0=(1-

3

)x+

3

，
∵x的取值范圍為0到1，
∴d最大為

3

．
∴d的取值范圍為[

3

2

，

3

]．

點評：本題考查了二倍角的余弦公式的應用，考查了函數最值的求法，體現了數學轉化思想方法，屬有一定難度題目．