Question

已知函數f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．若函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

．
（Ⅰ）設f（x）的導函數是f'（x），若s，t∈[-1，1]，求f'（s）+f（t）的最小值；
（Ⅱ）對實數k的值，討論函數F（x）=f（x）-k零點的個數．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導函數在x=1處的值，利用函數在切點處的導數值為切線的斜率，列出方程求出a的值，將a的值代入f（x）的解析式，求出其導函數．
（II）列出x、f′（x）/f（x）的變化情況表，求出f（x）的極大值、極小值，求出k的范圍．

解答：解：（I）f'（1）=1⇒a=2⇒f（x）=-x³+2x²-4⇒f'（x）=-3x²+4x（3分）
因s，t互相獨立，故只要分別求f'（s），f（t），s，t∈[-1，1]的最小值即可
當s=-1，t=0時，f'（s）+f（t）的最小值為-11
（II）等價于討論f（x）=k的實根的個數

x	（-∞，0）	0	(0， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	-4	↗	- 76 27	↘

∴k＞-

76

27

或k＜-4，一解；k=-

76

27

或k=-4，二解；-4＜k＜-

76

27

，三解．

點評：本題1考查函數在切點處的導數值為切線的斜率；解決已知方程的解的個數求參數的范圍問題常轉化為求函數的極值問題．