Question

直線4x-3y-12=0與x、y軸的交點分別為A、B，O為坐標原點，則△AOB內切圓的方程為（　　）

• A、（x-1）²+（y+1）²=1
• B、（x-1）²+（y-1）²=1
• C、（x-1）²+（y+1）²=

  2

• D、（x-1）²+（y+1）²=2

Answer 1

分析：根據題意畫出三角形AOB的內切圓，如圖所示，由圓F與x軸和y軸都相切，設出圓F的半徑為r，進而寫出圓心F的坐標，根據直線AB與圓F相切，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，利用點到直線的距離公式表示出d，讓d等于r列出關于r的方程，求出方程的解即可得到半徑r的值，進而得到圓心F的坐標，根據求出的圓心坐標和半徑寫出圓F的標準方程即為△AOB內切圓的方程．

解答：
解：根據題意畫出圖形，如圖所示：⊙F為△AOB的內切圓，
設⊙F的半徑為r，所以圓心F的坐標為（r，-r），又⊙F與直線AB相切，
∴圓心F到直線的距離d=

|7r-12|

5

=r，解得r=1或r=6（舍去），
∴圓心F的坐標為（1，-1），半徑為1，
則△AOB內切圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=1．
故選A

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時滿足的關系，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會根據圓心和半徑寫出圓的標準方程，考查了數形結合的數學思想，是一道中檔題．設出內切圓的半徑表示出圓心F的坐標是解本題的關鍵．