Question

已知f（x）=lnx-x²+bx+3．
（Ⅰ）若函數f（x）在點（2，y）處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求函數f（x）在區間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在區間[1，m]上單調，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先求出函數的導數f′（x），令x=2求出函數f（x）在點（2，y）的斜率，然后根據函數f（x）在點（2，y）處的切線與直線2x+y+2=0垂直，求出函數f（x）的表達式，根據導數判斷函數的單調性，從而求函數f（x）在區間[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出函數的單調區間，可知y=2x-在[1，m]上單調遞增，在[1，m]上恒成立，從而求出b的取值范圍．
解答：解：（1）直線2x+y+2=0斜率為-2，
令f^/（2）=得b=4，∴f（x）=lnx-x²+4x+3
∴

∵6+ln3＞6，∴x=1時，f（x）在[1，3]上最小值6；（6分）
（2）令≥0得b≥2x-，
在[1，m]上恒成立而y=2x-在[1，m]上單調遞增，
最大值為2m-，∴b≥2m-
令≤0得b≤2x-，
在[1，m]上恒成立而y=2x-在[1，m]單調遞增，最小值為y=1，
∴b≤1
故b≥2m-或b≤1時f（x）在[1，m]上單調． （12分）
點評：此題主要考查函數導數與函數單調性之間的關系，需要掌握并會熟練運用導數判斷函數的單調性．