Question

【題目】已知數列，滿足：，，．

（1）設，求數列的通項公式；

（2）設，不等式恒成立時，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，恒成立．

【解析】

試題分析：（1）由，化簡得，得到數列是以為首項，為公差的等差數列，即可求解數列的通項公式；（2）由（1）知，，得，從而，即可求解，得到，轉化為恒成立，即可滿足不等式恒成立，利用二次函數的性質，即可求解實數的取值范圍．

試題解析：（1）∵，

∴，

∵，∴數列是以為首項，為公差的等差數列，

∴．

（2）由（1）知，，∴，

從而，

，

∴，

由題意可知恒成立，即可滿足不等式恒成立，

設，

當時，恒成立，

當時，由的判別式，

再結合二次函數的性質不可能成立；

當時，對稱軸，在上為單調遞減函數，

∵，

∴時，恒成立．

綜上知：當時，恒成立．