Question

【題目】已知函數．

（1）記，求證：函數在區間內有且僅有一個零點；

（2）用表示中的最小值，設函數，若關于的方程（其中為常數）在區間有兩個不相等的實根，記在內的零點為，試證明：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）求出函數的導數，通過解關于導函數的不等式，得到函數的單調性，結合零點存在定理證出結論即可；（2）問題轉化為證明，根據在上遞減，即證明，根據函數的單調性證明即可．

試題解析：（1）證明：，

顯然當時，，故在上單調遞增，

而，所以由零點存在定理知，

必存在唯一，使得，

即函數在區間內有且僅有一個零點．

（2）由（1）問可知，且時，，時，

因此，

其中滿足即，（事實上），

而時，，時，，

因此在，若方程在區間有兩個不相等的實根，

，則必有，

所證，因為在單調遞減，

所以只需證，而，所以只需證，

即證明：，

構造函數，，

發現，，

下證明時，恒成立，

考查函數，所以在，

所以一定有，

因此，時，，

即在，所以時，即成立了．