Question

已知（）ⁿ（n∈N^*）的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10：1
（I）求展開式中各項系數的和；
（Ⅱ）求展開式中含x的項；
（Ⅲ）求二項式系數最大項和展開式中系數最大的項．

Answer 1

【答案】分析：（I）由展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10：1，求得n=8．再令x=1得各項系數的和．
（II）在通項公式中，令x的冪指數為，求得r的值，即可得到展開式中含  的項．
（III）設第r+1項的系數絕對值最大，由，解得5≤r≤6，由此可得二項式系數最大項和展開式中系數最大的項．
解答：解：（I）由題可知，第5項系數為：C_n⁴•（-2）⁴，
第3項系數為C_n²•（-2）²，∴C_n⁴•（-2）⁴=10C_n²•（-2）²，∴n=8．
 令x=1得各項系數的和為：（1-2）⁸=1．
（II）通項為：T_r+1=C₈^r•（）^8-r•（-）^r=C₈^r•（-2）^r•，
令，∴r=1，∴展開式中含  的項為T₂=-16．
（III）設第r+1項的系數絕對值最大，則有 ，解得5≤r≤6，
∴系數最大的項為T₇=1792•
由n=8知第5項二項式系數最大T₅=•（-2）⁴•x^-6=1120•．
點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．