Question

如圖，已知雙曲線(a＞0，b＞0)其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F(c，0)作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：(O為原點(diǎn))且(λ≠0)

(Ⅰ)求雙曲線的離心率；

(Ⅱ)若a＝2，過(guò)點(diǎn)B的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵B(0，－b)，A( 　　∵2　　∴D為線段FP的中點(diǎn)　　1分 　　∴(c，即A、B、D共線　　2分 　　∴而，∴( 　　得a＝2b∴e＝　　4分 　　(Ⅱ)∵a＝2而e＝雙曲線方程為①　　5分 　　∴B(0，－1) 　　假設(shè)存在定點(diǎn)C(0，n)使為常數(shù)u， 　　設(shè)MN的方程為y＝kx－1　　②　　6分 　　由②代入①得 　　由題意得得 　　設(shè)M(　　8分 　　而 　　＝ 　　整理得：[4][8－]＝0　　10分 　　對(duì)滿足 　　∴解得n＝4，u＝17 　　故存在y軸上的定點(diǎn)C(0，4)，使為常數(shù)17　　12分