Question

如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點(diǎn)A，B為左、右焦點(diǎn)，且過C，D兩頂點(diǎn)．若AB=4，BC=3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 

．

Answer 1

分析：由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意知2a=AC-BC，求得a，進(jìn)而根據(jù)b，a和c的關(guān)系求得b，則雙曲線的方程可得．

解答：解：由題意可得點(diǎn)OA=OB=2，AC=5
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1．
則2a=AC-BC=5-3=2，
所以a=1．
所以b²=c²-a²=4-1=3．
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2-

y2

3

=1．
故答案為：x2-

y2

3

=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的關(guān)系．解答的關(guān)鍵是合理利用雙曲線的定義解題．