Question

已知{a_n}是等差數列，其前n項和為5_n，{b_n}是等比數列，且a₁=b₁=2，a₂+b₄=21，b₄-S₃=1．
（Ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出公比和公差，根據條件，組成方程組，求出公比和公差，即可求出通項；
（Ⅱ）借助于錯位相減法求出T_n的表達式即可．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，等比數列的首項為q，
∵a₁=b₁=2，a₂+b₄=21，b₄-S₃=1
∴

2+d+2q3=21 2q3-(3×2+3d)=1

∴d=3，q=2
∴a_n=3n-1，b_n=2ⁿ；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
∴T_n=2×2¹+5×2²+…+（3n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2×2¹+3×2²+…+3•2ⁿ-（3n-1）•2ⁿ⁺¹=（4-3n）•2ⁿ⁺¹-8
∴T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

點評：本題考查等差數列和等比數列的綜合問題，考查數列的求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．