Question

已知函數f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（Ⅰ）當a=4時，畫出函數f（x）的大致圖象，并寫出其單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在x∈[0，2]上是單調遞減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＞0，當實數c分別取何值時，集合{x|f（x）=c}為單元素集，兩元素集，三元素集？

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=4時，根據f（x）的解析式，畫出f（x）的圖象．結合函數的圖象，可得單調遞增區間．
（Ⅱ）x∈[0，2]時，根據函數的解析式利用二次函數的性質可得若函數f（x）在x∈[0，2]上是單調遞減函數，則

a

2

≤0，從而求得a的范圍．
（Ⅲ）根據函數解析式，結合函數圖象，根據函數f（x）的圖象與直線y=c的交點個數，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）a=4時，f(x)=

x2-4x   (x＜0) -x2+4x  (x≥0)

，
f（x）的圖象如圖．--------（2分）
結合函數的圖象，可得單調遞增區間為[0，2]．-----（4分）
（Ⅱ）x∈[0，2]時，f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

若函數f（x）在x∈[0，2]上是單調遞減函數，則

a

2

≤0，
∴a∈（-∞，0]．---（7分）
（Ⅲ）f(x)=

-x(a-x)  ，(x＜0) x(a-x)，   (x≥0)

，
即 f(x)=

(x- a 2 )2- a2 4   ，(x＜0) -(x- a 2 )2+ a2 4 ，   (x≥0)

，
由圖象知，當c∈(-∞，0)∪(

a2

4

，+∞) 時，函數f（x）的圖象與直線y=c有一個交點，
方程f（x）=c的解集是單元素集；
當c=0或

a2

4

時，函數f（x）的圖象與直線y=c有2個交點，方程f（x）=c的解集是兩元素集；
當c∈(0，

a2

4

)時，函數f（x）的圖象與直線y=c有3個交點，方程f（x）=c的解集是三元素集．

點評：本題主要考查函數的圖象的作法，方程的根的存在性和個數判斷，屬于中檔題．