Question

4．若函數(shù)f（x）=ae^x-x有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 對f（x）求導(dǎo)，討論f′（x）的正負(fù)以及對應(yīng)f（x）的單調(diào)性，得出函數(shù)y=f（x）有兩個零點的等價條件，從而求出a的取值范圍；

解答 解：∵f（x）=ae^x-x，∴f′（x）=ae^x-1；
下面分兩種情況討論：
①a≤0時，f′（x）＜0在R上恒成立，∴f（x）在R上是減函數(shù)，不合題意；
②a＞0時，由f′（x）=0，得x=-lna，當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f′（x）	-	0	+-
f（x）	遞減	極小值-lna-1	遞增

∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-lna），增區(qū)間是（-lna，+∞）；
∴函數(shù)y=f（x）有兩個零點等價于如下條件同時成立：
（i）f（-lna）＞0，（ii）存在s₁∈（-∞，-lna），滿足f（s₁）＜0，（iii）存在s₂∈（-lna，+∞），滿足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，滿足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=$\frac{2}{a}$+ln$\frac{2}{a}$，滿足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（$\frac{2}{a}$-e$\frac{2}{a}$）+（ln$\frac{2}{a}$-e$\frac{2}{a}$）＜0；
∴a的取值范圍是（0，e^-1）．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點問題，也考查了函數(shù)思想、化歸思想和分析問題、解決問題的能力．