Question

已知P為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左支上一點，F₁，F₂為雙曲線的左右焦點，且cos∠PF₁F₂=sin∠PF₂F₁=

5

5

則此雙曲線離心率是（　　）

• A、

  5

• B、5
• C、2

  5

• D、3

Answer 1

分析：先根據cos∠PF₁F₂=sin∠PF₂F₁推斷△PF₁F₂為直角三角形，設|PF₁|=x，||PF₂|=y，根據勾股定理可知x²+y²=4c²，同時又根據正弦定理可得

x

sin∠PF2F1

=

y

sin∠PF1F2

得出x與y的關系，聯立方程求得x和y，進而根據雙曲線定義y-x=2a，從而找到a和c的關系，求得離心率e．

解答：解：cos∠PF1F2=sin∠PF2F1
∴90°-∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，即90°=∠PF₁F₂+∠PF₂F₁
設|PF₁|=x，||PF₂|=y
則有x²+y²=4c²，①
根據正弦定理

x

sin∠PF2F1

=

y

sin∠PF1F2

即

x

5 5

=

y

2 5 5

∴2x=y②
①②聯立方程求得x=

2 5

5

c，y=

4 5

5

c
∴根據雙曲線定義可知y-x=

2 5

5

c=2a
∴e=

c

a

=

5

故選A

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了用定義法來解決圓錐曲線的問題．