Question

設(shè)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)兩點在拋物線y＝2x²上，l是AB的垂直平分線．

(1)當(dāng)且僅當(dāng)x₁＋x₂取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論．

(2)當(dāng)直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：F∈l|FA|＝|FB|A、B兩點到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等， 　　∵拋物線準(zhǔn)線y＝平行于x軸，y1≥0，y2≥0， 　　依題意y1、y2不同時為零， 　　∴上述條件等價于y1＝y(tǒng)2x12＝x22(x1＋x2)(x1－x2)＝0． 　　∵x1≠x2，∴上述條件等價于x1＋x2＝0，即當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2＝0時，l經(jīng)過拋物線的焦點F． 　　(2)設(shè)l在y軸上的截距為b，則l的方程y＝2x＋b，過A、B兩點的直線方程為． 　　由得＝0． 　　∴x1＋x2＝． 　　Δ＝＋8m＞0． 　　∴m＞．設(shè)AB中點N的坐標(biāo)為(x0，y0)， 　　則x0＝(x1＋x2)＝，y0＝x0＋m＝＋m． 　　∵N點在l上， 　　∴＋m＝＋b． 　　于是b＝，即b＞． 　　故直線l在y軸上截距的取值范圍是(，＋∞)．

提示：

本題考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．注意判別式的作用和充要條件的證明，“當(dāng)且僅當(dāng)”即指充要條件．本題利用直線與拋物線的位置關(guān)系求解．