Question

設A(x1，y1)，B(4，

9

5

)，C(x2，y2)是右焦點為F的橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上三個不同的點，則“|AF|，|BF|，|CF|成等差數列”是“x₁+x₂=8”的（　　）

• A、充要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分不必要條件
• D、既非充分也非必要

Answer 1

分析：先根據橢圓方程求得右準線方程，進而分別求得A、B、C到右準線的距離進而根據橢圓的第二定義用e和點到準線的距離表示出|AF|，|BF|，|CF|，進而可知丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數列等價于2ed₂=ed₁+ed₃，2d₂=d₁+d₃，即：x₁+x₂=8推斷出結論．

解答：解：右準線為：x=

a2

c

=

25

4

設A、B、C到右準線的距離為d₁、d₂、d₃
d₁=

25

4

-x₁，d₂=

9

4

，d₃=

25

4

-x₂
由橢圓的第二定義（點到定點的距離等于到定直線距離的e倍，定點為焦點，定直線為準線）
丨AF丨=ed₁、丨BF丨=ed₂、丨CF丨=ed₃
丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數列等價于2ed₂=ed₁+ed₃，2d₂=d₁+d₃，即：x₁+x₂=8
∴“丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差數列”是“x₁+x₂=8的充要條件．

點評：這道題目綜合考查了解析幾何中橢圓的性質（人教版選修2-1第三章）與簡易邏輯中的命題的基本關系（人教版選修2-1第一章），可以認為這是一道以簡易邏輯為背景的解析幾何題目．