Question

已知不等式a2x2-(2

6

-1)x-

6

-lne≥0（0＜a＜1，e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為D，函數(shù)f（x²-3）=ln

x2+1

x2+6

，x∈D．
（1）求出f（x）的解析式和定義域；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出不等式，得到解集D，再由換元法，求出f（x）的解析式和定義域；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟．

解答： 解：（1）不等式a2x2-(2

6

-1)x-

6

-lne≥0（0＜a＜1）
等價于式a2x2-(2

6

-1)x-

6

≥a⁰（0＜a＜1），
又0＜a＜1，∴2x2-（2

6

-1）x-

6

≤0，解得-

1

2

≤x≤

6

．
∴D=[-

1

2

，

6

]．又f（x²-3）=ln

x2+1

x2+6

，x∈D，
令t=x²-3，則x²=t+3，由于x∈D，∴t∈[-3，3]，
∴f（t）=ln

t+4

t+9

，∴f（x）=ln

x+4

x+9

，x∈[-3，3]，
（2）f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)．
理由如下：任取m，n∈[-3，3]，且m＜n，
則f（m）-f（n）=ln

m+4

m+9

-ln

n+4

n+9

=ln

(m+4)(n+9)

(n+4)(m+9)

，
由于（m+4）（n+9）-（n+4）（m+9）=5（m-n）＜0，
則（m+4）（n+9）＜（n+4）（m+9），
又（m+4）（n+9）＞0，（n+4）（m+9）＞0，
則0＜

(m+4)(n+9)

(n+4)(m+9)

＜1，
則f（m）-f（n）=ln

(m+4)(n+9)

(n+4)(m+9)

＜0，
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在[-3，3]上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法：換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．