Question

已知f(x)=

3

sin4x+(sinx+cosx)2-

3

cos4x
（1）求f（x）的最小值及取最小值時x的集合；
（2）求f（x）在x∈[0，

π

2

]時的值域；
（3）求f（x）在x∈[-

π

2

，

π

2

]時的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角、輔助角公式化簡函數，即可求出f（x）的最小值及取最小值時x的集合；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，利用正弦函數圖象的性質，可求f（x）在x∈[0，

π

2

]時的值域；
（3）求出正弦函數的單調遞減區間，即可求f（x）在x∈[-

π

2

，

π

2

]時的單調遞減區間．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin4x+(sinx+cosx)2-

3

cos4x=

3

(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+1+2sinxcosx=-

3

cos2x+sin2x+1
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
∴f（x）的最小值為-1．
此時，2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

12

，x的集合為{x|x=kπ-

π

12

，k∈Z}，
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
∴f(x)∈[-

3

+1，3]，
（3）由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
∴f（x）在x∈[-

π

2

，

π

2

]時的單調遞減區間是[-

π

2

，-

π

12

]，[

5π

12

，

π

2

]．

點評：本題考查三角函數的化簡，考查三角函數圖象的性質，考查學生的計算能力，正確化簡函數是關鍵．