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已知f(x)=
ax
ax+
a

(1)求f(x)+f(1-x)及f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)
=?
(2)是否存在正整數(shù)a,使
a
f(n)
f(1-n)
n2
對一切n∈N都成立.
分析:(1)根據(jù)已知中f(x)=
ax
ax+
a
,我們易根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)對f(x)+f(1-x)進行化簡,進而求出f(x)+f(1-x)的值,然后利用倒序相加法,即可求出f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)
的值.
(2)根據(jù)(1)有結(jié)論,我們易將已知中的不等式進行化簡,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),即可得到答案.
解答:解:(1)f(x)=
ax
ax+
a

∴f(x)+f(1-x)=
ax
ax+
a
+
a1-x
a(1-x)+
a
=1
∴2[f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)
]=9
f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)
=
9
2

(2)由(1)得
f(1-n)=1-f(n)=
a 
an+
a

a
f(n)
f(1-n)
=
a
an
an+
a
a 
an+
a
=an
則原不等式可化為:an>n2
∵當a≥3時,an>n2恒成立,
故存在正整數(shù)a≥3,使
a
f(n)
f(1-n)
n2
對一切n∈N都成立.
點評:本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用、指數(shù)的運算性質(zhì),其中根據(jù)已知條件求出f(x)+f(1-x)=1是解答本題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-ax
a-1
(a≠1).
(1)若a>0,則f(x)的定義域是
 

(2)若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-ax
a-1
(a≠1)

(1)若a<0,則f(x)的定義域為
[
3
a
,+∞)
[
3
a
,+∞)

(2)若f(x)在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為
(0,1)
(0,1)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=
axa+x
(x≠-a)
,且f(2)=1.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=f(an),(n∈N*),計算a2,a3,a4,并由此猜想通項公式an
(Ⅲ)證明(Ⅱ)中的猜想.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-ax
a-1
(a≠1)
,若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-ax
a-1
(a≠1).
(1)若a>0,則f(x)的定義域為
 

(2)若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是
 

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