Question

已知f(x)=2cosx•sin(x+

π

6

)+

3

sinx•cosx-sin2x，
（1）求函數y=f（x）的單調遞增區間；
（2）設△ABC的內角A滿足f（A）=2，而

AB

•

AC

=

3

，求邊BC的最小值．

Answer 1

分析：利用和差角及二倍角公式對函數化簡可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)
（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，解不等式可得答案，
（2）由f（A）=2sin(2A+

π

6

)=2及0＜A＜π可得A=

π

6

，由

AB

•

AC

=

3

，利用向量數量積的定義可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC中a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-

3

bc≥2bc-

3

bc=(2-

3

)bc
=(2-

3

)×2=4-2

3

，從而可求

解答：解：（1）f(x)=2cosx(

3

2

sinx+

1

2

cosx)+

3

sinx•cosx-sin2x=2

3

sinx•cosx+cos2x-sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故所求單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．（7分）

（2）由f(A)=2sin(2A+

π

6

)=2，0＜A＜π得A=

π

6

，（9分）
∵

AB

•

AC

=

3

，即bccosA=

3

，∴bc=2，（10分）
又△ABC中，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-

3

bc≥2bc-

3

bc=(2-

3

)bc=(2-

3

)×2=4-2

3

，
∴amin=

4-2 3

=

3

-1（14分）

點評：本題主要考查了三角函數的二倍角公式，輔助角公式的應用，正弦函數的單調區間的求解，向量的數量積與三角函數的綜合，余弦定理的應用，及基本不等式，綜合知識比較多，解決本題要求考生不但熟練掌握基礎知識，還要能靈活的應用知識解決問題．