Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)x單位產(chǎn)品時(shí)的總成本函數(shù)為C(x)=300+

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x3-5x2+170x．每單位產(chǎn)品的價(jià)格是134元，求使利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量．

Answer 1

分析：設(shè)總收益R（x）=134x，利潤(rùn)L（x）=R（x）-C（x），在定義域內(nèi)用導(dǎo)數(shù)可求利潤(rùn)函數(shù)的最大值．

解答：解：由題意，生茶x單位產(chǎn)品時(shí)，總收益R（x）=134x，
利潤(rùn)為：L（x）=R（x）-C（x）=134x-（300+

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x3-5x2+170x）
=-

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x3+5x2-36x-300，其定義域?yàn)閇0，+∞）．
L′（x）=-

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x2+10x-36=-

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4

(x-36)(x-4)，
令L′（x）=0，得x₁=4，x₂=36，
又∵L(0)=-300，L(4)=-369

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3

，L(36)=996，
且當(dāng)4＜x＜36時(shí)，L′（x）＞0，即L（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞36時(shí)，L′（x）＜0，即L（x）單調(diào)遞減．∴L（36）=996是L（x）的最大值．
因此工廠生產(chǎn)36單位產(chǎn)品時(shí)有最大利潤(rùn)996元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解決關(guān)鍵是根據(jù)問題背景構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)模型，從而可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)處理．