Question

某產品生產x單位產品時的總成本函數為C(x)=300+

1

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x3-5x2+170x．每單位產品的價格是134元，求使利潤最大時的產量．

Answer 1

由題意，生茶x單位產品時，總收益R（x）=134x，
利潤為：L（x）=R（x）-C（x）=134x-（300+

1

12

x3-5x2+170x）
=-

1

12

x3+5x2-36x-300，其定義域為[0，+∞）．
L′（x）=-

1

4

x2+10x-36=-

1

4

(x-36)(x-4)，
令L′（x）=0，得x₁=4，x₂=36，
又∵L(0)=-300，L(4)=-369

1

3

，L(36)=996，
且當4＜x＜36時，L′（x）＞0，即L（x）單調遞增；當x＞36時，L′（x）＜0，即L（x）單調遞減．∴L（36）=996是L（x）的最大值．
因此工廠生產36單位產品時有最大利潤996元．