Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在x=﹣1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），

當a＜0時，對x∈R，有f′（x）＞0，

當a＜0時，f（x）的單調增區間為（﹣∞，+∞）

當a＞0時，由f′（x）＞0解得 或 ；

由f′（x）＜0解得 ，

當a＞0時，f（x）的單調增區間為 ；

f（x）的單調減區間為

（2）解：因為f（x）在x=﹣1處取得極大值，

所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，∴a=1．

所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3x2﹣3，

由f′（x）=0解得x1=﹣1，x2=1．

由（1）中f（x）的單調性可知，f（x）在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=1，

在x=1處取得極小值f（1）=﹣3．

因為直線y=m與函數y=f（x）的圖象有三個不同的交點，

結合f（x）的單調性可知，m的取值范圍是（﹣3，1）

【解析】（1）先確求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間是增區間，fˊ（x）＜0的區間是減區間．（2）先根據極值點求出a，然后利用導數研究函數的單調性，求出極值以及端點的函數值，觀察可知m的范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．