Question

定義在R上的函數f（x）滿足：f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，當x∈（0，4）時，f（x）=x²-1，則f（2011）=

 

．

Answer 1

分析：由題意令x=x+2代入關系式在進行化簡，求出函數的周期為4，再利用周期得f（2011）=f（3），再代入給出的解析式求解．

解答：解：由題意知，定義在R上的函數f（x）有 f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，
則令x=x+2代入得，∴f（x+4）=

1-f(x+2)

1+f(x+2)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=f（x），
∴函數f（x）是周期函數且T=4，
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），
∵當x∈（0，4）時，f（x）=x²-1，∴f（3）=8．
即f（2011）=8．
故答案為：8．

點評：本題考查了函數周期性的運用，關鍵是利用已知的式子整體代換后進行變形，求出函數的周期后在利用周期將所求的函數值轉化到已知的范圍內求解．