Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1 ， M、N分別為BB1、A1C1的中點．
（Ⅰ）求證：CB1⊥平面ABC1；
（Ⅱ）求證：MN∥平面ABC1 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，

側面BB1C1C⊥底面ABC，且側面BB1C1C∩底面ABC=BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∴AB⊥平面BB1C1

∵CB1平面BB1C1C，∴AB⊥CB1．

∵BC=CC1，CC1⊥BC，∴BCC1B1是正方形，

∴CB1⊥BC1，

∵AB∩BC1=B，∴CB1⊥平面ABC1．

（Ⅱ）取AC1的中點F，連BF、NF．

在△AA1C1中，N、F是中點，

∴NF AA1，

又∵正方形BCC1B1中BM AA1，

∴NF∥BM，且NF=BM

故四邊形BMNF是平行四邊形，可得MN∥BF，

∵BF面ABC1，MN平面ABC1，

∴MN∥面ABC1

【解析】（I）根據直三棱柱的性質，利用面面垂直性質定理證出AB⊥平面BB1C1，得出AB⊥CB1．正方形BCC1B1中，對角線CB1⊥BC1，由線面垂直的判定定理可證出CB1⊥平面ABC1；（II）取AC1的中點F，連BF、NF，利用三角形中位線定理和平行四邊形的性質，證出EF∥BM且EF=BM，從而得到BMNF是平行四邊形，可得MN∥BF，結合線面平行判定定理即可證出MN∥面ABC1．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．