Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣ ． （Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x﹣ 的定義域是D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），

任取x∈D，則﹣x∈D，

且f（﹣x）=﹣x﹣ =﹣（x﹣ ）=﹣f（x），

∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；

（Ⅱ）證明：設(shè)x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）

=（x1﹣x2）+（ ﹣ ）

= ；

∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，

x1﹣x2＜0，x1x2+1＞0，

∴ ＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，利用奇偶性的定義即可判斷f（x）是奇函數(shù)；（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義即可證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．