Question

已知數列{S_n}的前n項和為S_n=n²+n．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）令b_n=a n×2n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用a₁=s₁，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，可求通項
（II）由已知：bn=2n•2n=n•2ⁿ⁺¹，利用錯位相減可求和

解答：解：（I）當n=1時，a₁=s₁=2
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n
n=1時，也適合上式．
∴a_n=2n
（II）由已知：bn=2n•2n=n•2ⁿ⁺¹
Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1①
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²②
①-②得-Tn=22+23+…+2n+1-n•2n+2
=

4(1-2n)

1-2

-n•2n+2=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²
∴Tn=(n-1)•2n+2+4

點評：本題主要考查了數列的遞推公式a₁=s₁，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，在數列的通項公式求解中的應用，注意檢驗a₁是否適合通項，而錯位相減法求解數列的和是數列求和的重要方法，要注意掌握