Question

已知數列{S_n}的前n項和為S_n=n²+n．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）令b_n=a n×2n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（I）當n=1時，a₁=s₁=2
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n
n=1時，也適合上式．
∴a_n=2n
（II）由已知：bn=2n•2n=n•2ⁿ⁺¹
Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1①
2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²②
①-②得-Tn=22+23+…+2n+1-n•2n+2
=

4(1-2n)

1-2

-n•2n+2=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²
∴Tn=(n-1)•2n+2+4