Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b為實數)
（1）若函數f（x）有極值，且在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行，求實數a的取值范圍；
（2）若y=f（x）在區間[-1，2]上是單調減函數，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，令導函數等于0對應的方程判別式大于0；令導函數在x=1處的值為1，列出不等式組，求出a的范圍．
（2）令f（x）的導函數小于等于0在區間[-1，2]上恒成立，結合二次函數的圖象得到導函數在區間的兩個端點值小于等于0即可，得到關于a，b的不等式組，求出a+b的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b為實數)
∴f′（x）=x²+2ax-bx
∵f′（1）=1+2a-b=1即b=2a①
∵函數f（x）有極值
故方程x²+2ax-bx=0有兩個不等實根
∴△=4a²+4b＞0即a²+b＞0②
由①②得a²+2a＞0解得a＜-2或a＞0
故a的取值范圍為（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）∵y=f（x）在區間[-1，2]上是單調減函數
∴f′（x）=x²+2ax-bx≤0在區間[-1，2]上恒成立
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0即

1-2a-b≤0 4+4a-b≤0

所以a+b的最小值為

3

2

點評：本題考查求曲線的切線問題常利用導數在切點處的值為切線的斜率；解決函數的單調性已知求參數的范圍問題轉化為導函數大于等于0或小于等于0恒成立．