Question

已知函數f （x）=a^x+2-1（a＞0，且a≠1）的反函數為f^-1（x）．
（1）求f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；
（3）設函數g（x）=loga

a

x-1

，求不等式g（x）≤f^-1（x）對任意的a∈[

1

3

，

1

2

]恒成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由y=f （x）=a^x+2-1，求得x=log_a（y+1）-2，即可得f^-1（x）；
（2）對底數a分a＞1與0＜a＜1兩類討論，分別求得其最大值與最小值，利用f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；
（3）由題意可得

x+1

a2

≤

a

x-1

，a∈[

1

3

，

1

2

]，轉化為不等式x²≤a³+1對任意的a∈[

1

3

，

1

2

]恒成立，從而可求得x的取值范圍．

解答：解：（1）令y=f （x）=a^x+2-1，于是y+1=a^x+2，
∴x+2=log_a（y+1），即x=log_a（y+1）-2，
∴f^-1（x）=log_a（x+1）-2（x＞-1）．…（3分）
（2）當0＜a＜1時，f^-1（x）_max=loga（0+1）-2=-2，f^-1（x）_min=log_a（1+1）-2=log_a2-2，
∴-2-（log_a2-2）=2，解得a=

2

2

或a=-

2

2

（舍）．…（5分）
當a＞1時，f^-1（x）_max=log_a2-2，f^-1（x）_min=-2，
∴（log_a2-2）-（-2）=2，解得a=

2

或a=-

2

（舍）．
∴綜上所述，a=

2

2

或a=

2

．…（7分）
（3）由已知有loga

a

x-1

≤log_a（x+1）-2，即loga

a

x-1

≤loga

x+1

a2

對任意的a∈[

1

3

，

1

2

]恒成立…（8分）
∵a∈[

1

3

，

1

2

]，
∴

x+1

a2

≤

a

x-1

①…（10分）
由

x+1

a2

＞0且

a

x-1

＞0知x+1＞0且x-1＞0，即x＞1，于是①式可變形為x²-1≤a³，
即等價于不等式x²≤a³+1對任意的a∈[

1

3

，

1

2

]恒成立．…（12分）
∵u=a³+1在a∈[

1

3

，

1

2

]上是增函數，
∴

28

27

≤a³+1≤

9

8

，于是x²≤

28

27

，
解得-

2 21

9

≤x≤

2 21

9

．結合x＞1得1＜x≤

2 21

9

．
∴滿足條件的x的取值范圍為（1，

2 21

9

]．…（14分）

點評：本題考查反函數，考查函數的最值及其幾何意義，考查函數恒成立問題，綜合性強，考查化歸思想、方程思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題．