Question

已知函數f（x）=

|lgx|，x＞0 x+7，x≤0

，若關于x的方程f（x²+2x）=a有6個不相等的實根，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（0，6]
• B、（0，7]
• C、（6，7]
• D、（6，7）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,函數的零點與方程根的關系

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由于本題是分段函數，要注意討論x²+2x的范圍．

解答： 解：∵f（x²+2x）=a，
∴|lg（x²+2x）|=a（x²+2x＞0）或x²+2x+7=a（x²+2x≤0），
∴x²+2x-10^a=0或x²+2x-10^-a=0或x²+2x+7-a=0（7-a≥0）
若關于x的方程f（x²+2x）=a有6個不相等的實根，
則上述三個方程都有兩個不同的根，且方程之間也沒有同根；
方程x²+2x-10^a=0和x²+2x-10^-a=0顯然都有兩個不同的根，
方程x²+2x+7-a=0有兩個不同的根，
則△=4-4（7-a）＞0（a≤7）
解得，6＜a≤7．
∵兩個方程的二次項系數及一次項系數相同，但常數項互不相同，
∴三個方程也沒有相同的根，
則有6個根．
故選C．

點評：本題考查了根的個數的判斷，注意綜合分析．