Question

2．在隊內羽毛球選拔賽中，選手M與B₁，B₂，B₃三位選手分別進行一場對抗賽，按以往多次比賽的統計，M獲勝的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，且各場比賽互不影響．
（1）若M至少獲勝兩場的概率大于$\frac{7}{10}$，則M入選下一輪，否則不予入選，問M是否會入選下一輪？
（2）求M獲勝場數X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出．
（2）利用相互獨立事件與互斥事件的概率計算公式及其分布列與數學期望計算公式即可得出

解答 解：（1）M與B₁，B₂，B₃進行對抗賽獲勝的事件分別為A，B，C，M至少獲勝兩場的事件為D，
則P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（C）=$\frac{1}{2}$由于事件A，B，C相互獨立，
所以P（D）=P（ABC）+P$（\overline{A}BC）$+$P（A\overline{B}C）$+P（$AB\overline{C}$）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{15}$，
由于$\frac{11}{15}=\frac{22}{30}$$＞\frac{21}{30}$=$\frac{7}{10}$，所以M會入選下一輪．
（2）M獲勝場數X的可能取值為0，1，2，3，則P（X=0）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{30}$，
P（X=2）=（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{14}{30}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{30}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{14}{30}$	$\frac{8}{30}$

數學期望E（X）=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{7}{30}$+2×$\frac{14}{30}$+3×$\frac{8}{30}$=$\frac{59}{30}$．

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．