Question

已知f（x）=

1

2

(x+

1

x

)+a，g（x）=x-1-lnx，若存在α，β∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，則a的取值范圍是

（1，e]

．

Answer 1

分析：定義在[

1

a

，a]上的函數f（x）和g（x）的值域，得到：f（x）的最小值為1+a，g（x）的最大值為：a-1-lna，結合條件：存在α，β∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，得到f（x）的最小值與g（x）的最大值差的絕對值小于等于3，得出一個關于a的不等關系，解之即得a的取值范圍．

解答：解：∵定義在[

1

a

，a]上的函數f（x）和g（x）的值域依次是[1+a，

1

2

(a+

1

a

)+a]和[0，a-1-lna]，
∴f（x）的最小值為1+a，g（x）的最大值為：a-1-lna，
∵若存在α，β∈[

1

a

，a]（a＞1），使得|f（α）-g（β）|≤3，則
∴1+a-（-1-lna）≤3，又a＞1
解之得：1＜a≤e，
故答案為：（1，e]．

點評：本小題主要考查函數的值域、函數的最值的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．