Question

已知復(fù)數(shù)z滿足|2z+

1

z

|=1，則z的幅角主值范圍是

[

π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

π

2

+

1

2

arccos

3

4

]∪[

3π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

3π

2

+

1

2

arccos

3

4

]

．

Answer 1

分析：利用復(fù)數(shù)的三角形式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的一元二次方程有正根，從而可求得z的幅角主值范圍．

解答：解：設(shè)z=r（cosθ+isinθ），則|2z+

1

z

|=1?4r⁴+（4cos2θ-1）r²+1=0，
這個等式成立等價于關(guān)于x的二次方程4x²+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）²-16≥0，
∴16cos²2θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-

3

4

或cos2θ≥

5

4

（舍去）．
又x₁x₂=

1

4

＞0，
故必須x₁+x₂=-

4cos2θ-1

4

＞0．
∴cos2θ＜

1

4

．
∴cos2θ≤-

3

4

，
∴（2k+1）π-arccos

3

4

≤2θ≤（2k+1）π+arccos

3

4

．
∴kπ+

π

2

-

1

2

arccos

3

4

≤θ≤kπ+

π

2

+

1

2

arccos

3

4

，（k=0，1）．
故答案為：[

π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

π

2

+

1

2

arccos

3

4

]∪[

3π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

3π

2

+

1

2

arccos

3

4

]

點評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，著重考查復(fù)數(shù)三角形式的應(yīng)用，考查一元二次方程的根，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力．