Question

已知復數z滿足|2z+|=1，則z的幅角主值范圍是________．

Answer 1

[-arccos，+arccos]∪[-arccos，+arccos]
分析：利用復數的三角形式可轉化為關于r的一元二次方程有正根，從而可求得z的幅角主值范圍．
解答：設z=r（cosθ+isinθ），則|2z+|=1?4r⁴+（4cos2θ-1）r²+1=0，
這個等式成立等價于關于x的二次方程4x²+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）²-16≥0，
∴16cos²2θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-或cos2θ≥（舍去）．
又x₁x₂=＞0，
故必須x₁+x₂=-＞0．
∴cos2θ＜．
∴cos2θ≤-，
∴（2k+1）π-arccos≤2θ≤（2k+1）π+arccos．
∴kπ+-arccos≤θ≤kπ++arccos，（k=0，1）．
故答案為：[-arccos，+arccos]∪[-arccos，+arccos]
點評：本題考查復數的基本概念，著重考查復數三角形式的應用，考查一元二次方程的根，考查轉化思想與運算能力．