Question

13．方程lgx+x-3=0一定有解的區間是（　　）

• A． （2，3）
• B． （1，2）
• C． （0，1）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 方法一：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象．它們的交點橫坐標x₀，顯然在區間（1，3）內，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實際上這是要比較x₀與2的大小．當x=2時，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此x₀＞2，從而得到答案．
方法二：利用根的存在性定理進行判斷即可．

解答 解：方法一：lgx+x-3=0可化為：lgx=-x+3，
在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象．
它們的交點橫坐標x₀．
當x=2時，lgx=lg2，3-x=1．
∵lg2＜1=lg10，
∴x₀＞2，
從而判定x₀∈（2，3）．
方法二：因為f（2）=lg2+2-3=lg2-1=lg2-lg10＜0，
f（3）=lg3+3-3=lg3＞0，
所以根據根的存在性定理可知，函數f（x）在區間（2，3）內存在零點，
所以方程lgx+x-3=的根x₀所在的區間為（2，3）．
故選：A

點評 本題主要考查了函數的零點與方程根的關系，考查通過構造函數用數形結合法求方程lgx+x-3=0解所在的區間．數形結合，要在結合方面下功夫．不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算x₀的鄰近兩個函數值，通過比較其大小進行判斷．